Matemáticas II

Maestro: Lic. Miguel Ángel Cadena Pérez.

Alumna: Esmeralda Cisneros Aguilera.

En este blog, doy a conocer lo visto en mi clase de matemáticas.

Haciendo referencia en el siguiente libro.

Arya. (2009). matemáticas aplicadas a ladministración y economía. 19-11-15, de Departament of Mathematics, Simon Fraser University Sitio web: https://hugarcapella.files.wordpress.com/2008/11/matematicas-aplicadas-a-la-administracion-airya-5edi.pdf

Objetivo General:

El estudiante adquirirá destreza en el manejo de técnicas y procedimientos para la solución de problemas. Hará uso de lenguaje matemático, de la sistematización de información y de las formas de representación gráfica y analítica. Manejará los conocimientos, métodos y algoritmos matemáticos establecidos en los programas, tanto básicos como auxiliares para abordar los contenidos de otras materias. Elaborará y usará modelos matemáticos en la resolución de problemas de optimización de recursos y en el análisis económico de problemas en el ámbito de las empresas.

MODULO 1. Introducción al cálculo en dos variables.

Objetivo: El alumno comprenderá los conceptos básicos del cálculo diferencial en varias variables, así como la resolución de problemas en el entorno económico-administrativo, enfatizando aquellos del área de optimización de recursos.

1.1 Funciones en dos variables.
Es el conjunto de todos puntos (x, y, f(x, y)) en espacio tridimensional, donde restringimos los valores de (x, y) a estar en el dominio de f. En otras palabras, la gráfica es el conjunto de todos puntos (x, y, z) tal que z = f(x, y).

Derechos de autor:
Stefan Waner. ( julio 2007 ). Cálculo aplicado resumen del tema: funciones de varias variables. 19-11-15, de zweigmedia Sitio web: http://www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm8.html

Canal de mysterian69. (31 jul 2011). 1 dominio de función de dos variables. 19-11-15, de canaldemyaterian69 Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=mi0DQfkx64s

1.2 Derivadas parciales.
La derivada parcial de f respecto a x es su derivada respecto a x, cuando los demás variables se consideran constantes.
En forma parecida, la derivada parcial de f respecto a y es su derivada respecto a y, cuando los demás variables se consideran constantes, y así sucesivamente para otras variables que pueda haber. Las derivadas parciales se escriben como ∂f/∂x, ∂f/∂y, y así sucesivamente. Se usa el símbolo "∂" (en lugar de "d") para recordarnos que hay mas que una variable, y que estamos considerando fijadas las demás variables.

Interpretación
∂f

∂x es la razón de cambio de f a medida que cambia x, cuando y se permanece constante.
∂f

∂y es la razón de cambio de f a medida que cambia y, cuando x se permanece constante.

Derivadas parciales de orden superior
Si f está una función de x, y, y posiblemente otras variables, entonces
∂2f

∂x2 se define como
∂

∂x

∂f

∂x

En forma parecida,
∂2f

∂y2 se define como
∂

∂y

∂f

∂y

∂2f

∂y∂x se define como
∂

∂y

∂f

∂x

∂2f

∂x∂y se define como
∂

∂x

∂f

∂y

La derivada parcial del segundo orden se puede escribir también como fxx, fyy, fxy, y fyx respectivamente.

Derechos de autor:
Stefan Waner. ( julio 2007 ). Cálculo aplicado resumen del tema: funciones de varias variables. 19-11-15, de zweigmedia Sitio web: http://www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm8.html

1.3 Máximos y mínimos de funciones de dos variables.

Si f está una función de x y y, entonces f tiene un máximo relativo a (a, b) si f(a, b) ³ f(x, y) para toda (x, y) en una pequeña cercanía de (a, b). Un mínimo relativo se define en manera parecida. f tiene un punto de silla en (a, b) si f tiene allí un mínimo relativo a lo largo de un corte y un máximo relativo a lo largo de un otro corte.

La función que se ilustra mas abajo tiene un mínimo relativo a (0, 0), un máximo relativo a (1, 1), y puntos de silla a (1, 0) y (0, 1).

1.4 Aplicaciones: Optimización de funciones de dos variables que representen gastos, ingresos o utilidad.

MatemáticaTrujillo. (15 may 2013). Aplicación de la recta: Costo total, ingreso, utilidad y punto de equilibrio. 19-11-115, de MatemáticaTrujillo Sitio web: https://youtu.be/FwYTE5Bgq4Q

RESUMEN:
Este módulo me pareció muy interesante, sobre todo el tema de máximos y mínimos,
porque como consulte en las lecturas del libro. La demanda, o volumen de ventas total, de un producto depende del precio a que se ofrece en el mercado. Sin embargo, en muchos casos el volumen de ventas también depende de factores adicionales tales como la cantidad gastada por el productor en promocionar el producto y los precios de los productos de la competencia.
Y aplicando esta función supongo que seria más fácil saber cuándo tiene su máximo y su mínimo relativo.

MODULO 2. Integración

Objetivo:El alumno conocerá el concepto de antiderivadas.

El alumno conocerá el concepto de integración, así como sus propiedades.

Aplicara la determinación de funciones de costo, utilidad, consumo y ahorro a partir de sus marginales.

2.1 Antiderivada.

La antiderivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.

Por ejemplo:

Si f(x) = 3×2, entonces , F(x) = x3, es una antiderivada. Observe que no existe una derivada única para cada función. por ejemplo, si G(x) = x3+ 5, entonces es otra antiderivada de f(x).

Derechos de autor: Florencia López. (20 de febrero del 2012). Concepto de Antiderivada. 23-11-15, de Florencia López Sitio web: http://calculodiferencialgrupo501.blogspot.mx/2012/02/concepto-de-antiderivada.html

2.2 Integral indefinida.

Derechos de autor:

Fredy Rojas. (15 de agosto del 2013). Ejercicio de integral indefinida. Ejemplo 1. 23-11-15, de Fredy Rojas Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=5_QWKbejzok

2.2.1 Integración con condiciones iniciales.

Constante de Integración Cuando se integra de forma indefinida una diferencial, lo que se obtiene es una familia de curv...

Constante de Integración C es una constante arbitraria que puede tomar cualquier valor, pero si existen condiciones inici...

Derechos de autor:

Ing. Julio Alberto González Negrete. (2011). Constante de integración. 22-11-15, de Ing. Julio Alberto Sitio web: http://es.slideshare.net/jagnegrete/constante-de-integracin

2.3 Fórmulas básicas de integración.

Recordemos que como en las derivadas, las integrales poseen reglas, propiedades y formulas para su procedimiento. Las integrales poseen un signo en su inicio en forma de S alargada y con una terminación de dx, esto las diferencia de otras ecuaciones. Una integral a realizar siempre ira acompañada de una S alargada al inicio y un dx al final. Estas son las formulas básicas de integración.

La integral de “n” numero siempre será nx + C. Ejemplo

La integral de una constante siempre será constante * variable +C (ax+C)

La integral de X elevado a “n” numero será ^Xn+1, lo que se haga en la exponenciación de la X se pondrá también abajo dividiéndola, es una regla establecida. Ejemplo

La integral que divide arriba sobre una variable abajo será logaritmo natural de variable mas C. La formula marca lnX+C porque arriba en dx no tiene constante ni variable pero sí un 1 imaginario, ejemplo.

Derechos de autor:

Raphael. (14 de diciembre del 2010). Introducción a las fórmulas básicas de Integración.. 23-11-15, de Apuntes y tareas de un estudiante de Ingeniería en Sistemas Computacionales de la UAT en Matamoros Sitio web: https://ingenieriaensistemasuat.wordpress.com/2010/12/14/381/

2.3.1 Integral indefinida de una constante.

Derechos de autor:

CruzDoiga. (21 de agosto del 2011). Obtener la Constante de Integracion de una Integral Indefinida. 23-11-15, de CruzDoiga Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=y2kYem5esN0

2.3.2 Integral de una constante por una variable.

Derechos de autor:

Janet López. (24 de octubre del 2012). Derivada de una constante por una variable. 23-11-15, de Janet López Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=l6IRgULsAdM

2.3.3 Integral de xn

Las fórmulas de integración son:

Derechos de autor:

Ceci Peralta. (domingo, 9 de noviembre de 2014). integral de Xn. 23-11-15, de Ceci Peralta Sitio web: http://introduccionmate-administracion.blogspot.mx/2014/11/233-integral-de-xn.html.

2.3.4 Integral de en

Derechos de autor:

LasMatemáticas.es,Universidad. (9 de febrero del 2012). Definición: e elevado a un número complejo. 23-11-15, de LasMatemáticas.es,Universidad Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=oPtMcnlwCm0

2.3.5 Integral de una constante por una función de x.

La integral de una constante es igual a la constante por x.

Ejemplo:

Integral de cero:

Derechos de autor:
Elvira. (2 mayo 2009). Integral de una constante. 23-11-15, de Inetor Sitio web: http://www.inetor.com/indefinidas/integral_constante.html.

2.3.6 Integral de una suma (diferencia) de funciones.

Derechos de autor:

Matemáticas Ejercicios. (20 de noviembre del 2012). LA NOTACION SIGMA SUMATORIAS COMO INTRODUCCION A LA INTEGRAL DEFINIDA. 23-11-15, de Matemáticas Ejercicios Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=_6j0LoPeQBY.

2.3.7 Regla de la potencia.

Derecho de autor:

Prof Mena. (3 de abril del 2013). REGLA DE LA POTENCIA (Ejemplos ilustrativos). 23-11-15, de Prof Mena Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=6TWPRp8txwA

2.3.7.1 Integrales que incluyen un

Las Mates y yo. (29 septiembre del 2009). Integrales de la forma U^n (U a la n). 23-11-15, de LasMatesyyo Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=hhCfxGxGlao

2.3.7.2 Integrales que incluyen funciones exponenciales.

Método y ejemplos de como encontrar la integral indefinida de la función exponencial cuando se encuentra multiplicada por la derivada del exponente.

Derechos de autor:
TareasPlus. (21 de junio del 2012). Integral de la función exponencial. 24-11-15, de TareasPlus Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=NXtNSiUXSfI

2.3.8 Integrales que incluyen funciones logarítmicas.

La siguiente es una lista de integrales de funciones logarítmicas.

Nota: x>0 se asume en este artículo.

\int\ln x\,dx = x\ln x - x

\int (\ln x)^2\; dx = x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2 x

\int (\ln x)^n\; dx = x(\ln x)^n - n\int (\ln x)^{n-1} dx \qquad\mbox{(para }n\neq 1\mbox{)}

\int \frac{dx}{\ln x} = \ln|\ln x| + \ln x + \sum^\infty_{i=2}\frac{(\ln x)^i}{i\cdot i!}

\int \frac{dx}{(\ln x)^n} = -\frac{x}{(n-1)(\ln x)^{n-1}} + \frac{1}{n-1}\int\frac{dx}{(\ln x)^{n-1}} \qquad\mbox{(para }n\neq 1\mbox{)}

\int x^m\ln x\;dx = x^{m+1}\left(\frac{\ln x}{m+1}-\frac{1}{(m+1)^2}\right) \qquad\mbox{(para }m\neq 1\mbox{)}

\int x^m (\ln x)^n\; dx = \frac{x^{m+1}(\ln x)^n}{m+1} - \frac{n}{m+1}\int x^m (\ln x)^{n-1} dx \qquad\mbox{(para }m,n\neq 1\mbox{)}

\int \frac{(\ln x)^n\; dx}{x} = \frac{(\ln x)^{n+1}}{n+1} \qquad\mbox{(para }n\neq 1\mbox{)}

\int \frac{\ln x\,dx}{x^m} = -\frac{\ln x}{(m-1)x^{m-1}}-\frac{1}{(m-1)^2 x^{m-1}} \qquad\mbox{(para }m\neq 1\mbox{)}

\int \frac{(\ln x)^n\; dx}{x^m} = -\frac{(\ln x)^n}{(m-1)x^{m-1}} + \frac{n}{m-1}\int\frac{(\ln x)^{n-1} dx}{x^m} \qquad\mbox{(para }m,n\neq 1\mbox{)}

\int \frac{x^m\; dx}{(\ln x)^n} = -\frac{x^{m+1}}{(n-1)(\ln x)^{n-1}} + \frac{m+1}{n-1}\int\frac{x^m dx}{(\ln x)^{n-1}} \qquad\mbox{(para }n\neq 1\mbox{)}

\int \frac{dx}{x\ln x} = \ln|\ln x|

\int \frac{dx}{x^n\ln x} = \ln|\ln x| + \sum^\infty_{i=1} (-1)^i\frac{(n-1)^i(\ln x)^i}{i\cdot i!}

\int \frac{dx}{x (\ln x)^n} = -\frac{1}{(n-1)(\ln x)^{n-1}} \qquad\mbox{(para }n\neq 1\mbox{)}

\int \sin (\ln x)\;dx = \frac{x}{2}(\sin (\ln x) - \cos (\ln x))

\int \cos (\ln x)\;dx = \frac{x}{2}(\sin (\ln x) + \cos (\ln x))

Derechos de autor:
licencia creativecommoons. (22 de noviembre del 2014). Anexo:Integrales de funciones exponenciales. 25-11-15, de licencia creative Sitio web: https://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Integrales_de_funciones_exponenciales

2.3.9 Integrales que incluyen (1/u)du

En este vídeo te muestro como se resuelve este tipo de integral

Derechos de autor:

Las Mates y yo. (1 de octubre del 2013). Integrales de la forma du/u. 25-11-15, de LasMatesyyo Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=9xS3kKGU2-A

2.3.10 Integrales incluyen au

En este vídeo te enseño a como resolver integrales de (a^u) "a" a la "u"

Derecho de autor:

Las Mates y yo. (4 de octubre del 2013). como resolver integrales de (a^u) "a" a la "u". 25-11-15, de LasMatesyyo Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=GTEeaDL-mzc

2.3.11 Integral por partes.

El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:

Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.

Las funciones exponenciales y trigonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.

Derechos de autor.

Vitutor. (25-11-15). Método de integración por partes. 25-11-15, de Vitutor Sitio web: http://www.vitutor.com/integrales/metodos/integral_partes.html

2.4 Aplicaciones: Determinación de

funciones de costo, utilidades, consumo, y ahorro a partir de sus marginales.

Una breve y clarísima explicación de la propensión marginal al consumo y al ahorro.

Utilidades, Ingresos y Costos.

propension marginal al consumo. (21 de febrero del 2013). propension marginal al consumo. 25-11-15, de propension marginal al consumo Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=hf2Ri1MFbwM

Ricardo Matemático. (26 de diciembre del 2012). UTILIDADES INGRESOS Y COSTOS. 25-11-15, de Ricardo Matemático Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=vC9iNjQ8vOs

RESUMEN.

En esta unidad vimos la Integración. Básicamente, una integral es una suma de infinitos. Me pareció muy importante el como puedo determinar costos, utilidades, consumo a partir de marginales, ya que en un futuro esto sera básicamente primordial para mi en mi trabajo.

MODULO 3. Integral Definida.

Objetivo:

El alumno comprenderá el concepto de integral definida así como su interpretación gráfica. Resolverá problemas de aplicación geométrica al mismo tiempo que resolverá problemas del entorno económico-administrativo.

El alumno aplicará técnicas adicionales para la resolución de integrales que presentan estructuras complejas asociadas con modelos y problemas del entorno económico-administrativo.

El alumno entenderá los conceptos elementales del álgebra lineal y los aplicará en problemas del ámbito económico y de gestión de negocios.

3.1 Área bajo la curva.

Ejercicio desarrollado del calcula del área comprendida entre una función y el eje X.

Derechos de autor.

Matefís. (28 de octubre del 2013). Area bajo la curva I (integral definida). 25-11-15, de Matefís Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=yc4ERt8aiQA

3.2 Teorema Fundamental del cálculo.

El teorema fundamental del cálculo nos indica que la derivación y la integración son operaciones inversas: si una función continua primero se integra y luego se deriva, se recupera la función original.

Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.

Derechos de autor:

Mtemática.Wikia. (2011). Teorema fundamental del cálculo integral. 25-11-15, de Matemática.wikia Sitio web: http://matematica.wikia.com/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo_integrl

3.3 Propiedades de la integral definida.

Se muestra que una integral definida en un mismo valor (límite superior igual al inferior) es cero, que la integral definida de la función constante es ese valor por la diferencia de los límites de la integral, que la integral se puede patrocinar, que es distributiva con respecto a la suma y que la integral de una función por una contaste es la constante por la integral de dicha función.

Entendiendo entonces que la integral es una suma de áreas, vamos a hablar de sus propiedades. La primer propiedad que vemos es que la integral definida entre a y a (es decir límites del intervalo iguales), de una función, es igual a cero. La segunda propiedad explicada es la de la partición, que consiste en decir que podemos patrocinar el intervalo y hallar la integral para cada intervalo, y el resultado es igual que si calculáramos directamente la integral para el intervalo total. La siguiente propiedad consiste en que si nos piden una integral de una función entre a y b (donde a es mayor que b), el resultado sería igual a tener la integral con signo negativo entre b y a. La siguiente propiedad nos dice que la integral de una función constante entre a y b, es igual a la constante multiplicada por la diferencia de b menos a.

Derechos de autor:

Roberto Cuartas. (junio 25 del 2013). Integral definida y sus propiedades básicas. 25-11-15, de Roberto Cuartas Sitio web: https://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/CALCULO-INTEGRAL/Integral-definida-y-sus-propiedades-basicas

3.4 Área entre una y dos curvas.

Hasta ahora hemos aprendido cómo hallar el área bajo una curva. En este vídeo se explica cómo hallar el área entre dos curvas. Supongamos que tenemos dos funciones cualquiera f(x) y g(x) como se observa en el gráfico, y nos interesa encontrar el área entre las curvas f(x) y g(x) en el intervalo entre a y b. Para encontrar dicha área en realidad lo que podríamos hacer es al área que hay bajo la curva f(x) en el intervalo entre a y b, restarle el área bajo la curva g(x) en el mismo intervalo. Es decir, si queremos encontrar el área entre las curvas en ese intervalo debemos encontrar la integral entre a y b, de f(x) – g(x). En resumidas palabras lo que hacemos es encontrar la integral entre a y b de la función de arriba menos la función de abajo.

Derecho de autor.

Tareas Plus. (19 de junio del 2012). Área entre dos curvas ejemplo 1. 25-11-15, de Tareas Plus Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=N9AHWCjYzZU

3.5 Aplicaciones: Excedente del consumidor y del productor, valor presente y valor futuro.

Excedente del productor y excedente del consumidor

Derechos de autor:
.Maivisa Avedra. (20- mayo-2011). Excedente del productor y excedente del consumidor. 25-11-15, de Maivisaavedra Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=prOd9QUUtIw

Valor presente y futuro.

Derechos de autor:

AcademyPlus1. (13-12-11). Valor Presente y Futuro. 25-11-15, de AcademyPlus1 Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=pKD8cmh7nvo

RESUMEN:

Vimos la integral definida, todos los temas me parecieron de gran interés, y pueden aplicarse mucho a la hora de administrar lo que es valor presente, que seria con lo que cuenta la empresa, y valor futuro, nuestras metas a largo plazo, gracias a esta técnica se cómo puedo aplicarlo y ver estos valores.

MODULO 4. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices.

Objetivo:

El alumno entenderá los conceptos elementales del álgebra lineal y los aplicará en problemas del ámbito económico y de gestión de negocios.

4.1 Sistemas de ecuaciones lineales.

*Sustitución
*Igualación
*Suma y resta
*Método gráfico
*En Excel.
En el siguiente vídeo se ve cómo aplicarse cada uno

Derechos de autor:

Cetremo14. (9 de Abril del 2014). Sistema de Ecuaciones Lineales - Método Gráfico (A mano y en Excel). 26-11-15, de Cetremo14 Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=E-ugflM8Vis

4.1.1 Definición

Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado 1 en una o varias incógnitas. Es decir, es una expresi´on de la forma a1x1 + ... + anxn = b donde los términos a1, ..., an son números reales conocidos que se llaman coeficientes; el término b es también un n´umero real conocido que se llama término independiente, y por ´ultimo los símbolos x1, ..., xn se conocen como incógnitas y son a prioridades conocidas. Para un número peque˜no de incógnitas, ser´a usual también denotarlas por las letras x, y, z, t, ... Una soluci´on de una ecuaci´on es una asignaci´on de valores a las inc´ognitas de forma que se verifique la igualdad.

Derechos de autor:

Cuco. (12-12-11). Tema 2. Sistemas de ecuaciones lineales Tema 2. Sistemas de ecuaciones lineales. 26-11-15, de uco.es/geometria Sitio web: http://www.uco.es/geometria/documentos/Tema2Biologia_Sistemas.pdf

4.1.2 Sistemas de ecuaciones lineales: consistentes, inconsistentes, y su representación paramétrica del conjunto solución.

CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS <ul><li>Consistente (tiene solución) </li></ul><ul><ul><li>Las rectas se intersecan o coinci...

<ul><li>Inconsistente (no tiene solución) </li></ul><ul><ul><li>Las dos gr á ficas son paralelas </li></ul></ul><ul><ul><l...

Derechos de autor.

Jane de Jesus. (3 septiembre del 2011). Sistema de ecuaciones lineales. 26-11-15, de Joanemarie28 Sitio web: http://es.slideshare.net/Joanemarie28/sistemas-de-ecuaciones-lineales-9123694

4.1.3 Métodos para resolución de sistemas de ecuaciones lineales: método gráfico, igualación, sustitución, eliminación (sumas y restas).

Método gráfico

Método de Igualación

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN <ul><li>Los pasos a seguir en este método son los siguientes: </li></ul><ul><li>Se despeja en una de...

MÉTODO DE REDUCCIÓN <ul><li>El método de reducción se compone de los siguientes pasos: </li></ul><ul><li>Se multiplican un...

Derechos de autor.

Clases de Matemáticas.org. (30 noviembre 2012). Método Gráfico Sistemas de Ecuaciones. 26-11-15, de cursosdealgebra Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=MJGRBw0UZFg

Pepe Muñoz. (24 junio 2011). Método de igualación. 26-11-15, de Pepe Muñoz Sitio web: http://es.slideshare.net/pepemunoz/mtodo-de-igualacin

4.1.4 Sistemas de ecuaciones equivalentes.

Dos ecuaciones son equivalentes si los valores de la variable que resuelven la ecuación son iguales.

Derechos de autor:
María Dominguez. (13 noviembre 2012). ecuaciones equivalentes. 26-11-15, de María Dominguez Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=08qW8Lu33yQ

4.1.5 Eliminación de Gauss y Gauss-Jordan.

La diferencia es que en la eliminación Gaussiana, se hacen ceros debajo de la diagonal principal, y entonces queda la última incógnita que se despeja inmediatamente, después se va a la penúltima ecuación que ha quedado y se despeja la penúltima incógnita y así sucesivamente.

El método de Gauss-Jordan continua haciendo operaciones de suma de filas haciendo que por encima de la diagonal principal también haya ceros con lo cual queda una matriz diagonal y las incógnitas se despejan sin mas que que hacer una división. Yo prefiero el método primero, es muy pesado ir escribiendo la matriz tantas veces y en esta página aun más.

Derechos de autor.

VALERO ANGEL SERRANO MERCADAL. (12 septimbre 2013). Diferencia entre eliminación gaussiana y gauss jordán?. 26-11-15, de VALERO ANGEL SERRANO MERCADAL Sitio web: http://www.todoexpertos.com/categorias/ciencias-e-ingenieria/matematicas/respuestas/drkh391wwaa5a/diferencia-entre-eliminacion-gaussiana-y-gauss-jordan

4.1.5.1 Definición de matriz.

Los elementos de una matriz se identifican por la fila y la columna que ocupan. Así, designaremos por a₃₂ el elemento que está situado en la tercera fila y segunda columna de la matriz A.

El número de filas y columnas que tiene una matriz se llama dimensión de la matriz.

Dos matrices son iguales si son de igual dimensión y coincide el valor de los elementos que ocupan la misma posición en ambas.

Derechos de autor:
Pepe Sacau Fontenla. (2004). DEFINICIÓN DE MATRIZ. 26-11-15, de Ministerio de Educación, Cultura y Deporte Sitio web: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Calculo_matricial_d3/defmat.htm

4.1.5.2 Expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales.

Derecho de autor:

Estudiia. (24 enero 2013). Expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales. 26-11-15, de estudiia Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=Xn6TVlj2ilE

4.1.5.3 Operaciones elementales sobre renglones.

•Recordemos las operaciones del renglón1) Intercambiar renglones: Ri RJ2) Sumar un múltiplo escalar de una fila a ot...

Derechos de autor:

Beth Gómez. (14 marzo 2013). Operaciones de renglon y reduccion de gauss jordan. 26-11-15, de Beth Gómez Sitio web: http://es.slideshare.net/bethgoca/operaciones-de-renglon-y-reduccion-de-gauss-jordan

4.1.5.4 Reducción de Gauss y Gauss-Jordan.

Derechos de autor.

AsesoresUTEL. (8 marzo 2013). Método de eliminación de Gauss Jordan. 26-11-15, de AsesoresUTEL Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=ERUO-090v88

4.1.5.5 Sistemas homogéneos.

Si un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tiene todos los términos independientes nulos se dice que eshomogéneo.

Sólo admite la solución trivial: x₁ = x₂=... = x_n= 0.

La condición necesaria y suficiente para que un sistema homogéneo tenga soluciones distintas de la trivial es que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el nº de incógnitas, o dicho de otra forma, que el determinante de la matriz de los coeficientes sea nulo.

r < n

Observemos que esto se debe a que:

De este modo estamos en el caso del teorema de Rouche en el que r(A)=r(A') y su valor es menor al número de incógnitas, siendo así el sistema compatible indeterminado.

Derechos de autor:

Vitutor. (2009). Sistemas homogéneos. 26-11-15, de Vitutor Sitio web: http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/homogeneos_2.html

4.2 Álgebra de Matrices.

Dado un conjunto X, se denomina matriz de n filas y m columnas a un conjunto de n×m elementos de X, dispuestos en un arreglo rectangular de n filas y m columnas. Las características de los elementos del conjunto X dependerán, en cada caso, de la naturaleza del problema que se esté estudiando. X puede ser un conjunto de funciones, de palabras de un alfabeto, de números, etc. De aquí en adelante, salvo que se especifique lo contrario, los elementos del conjunto X serán números reales y denotaremos el conjunto de todas las matrices de orden n×m (n filas y m columnas) por . M n×m.

Derechos de autor:
Cristina Steegmann Pascual . (2010). ÁLGEBRA DE MATRICES . 26-11-15, de Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD) Sitio web: http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Algebra_Matrices.pdf

4.2.1 Tipos de matrices (cuadrada, rectangular, triangular, matriz identidad, matriz transpuesta).

MATRIZ CUADRADA: La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas. Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal. La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.

MATRIZ RECTANGULAR: La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR: En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

MATRIZ TRASPUESTA Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando orden.

Derechos de autor.

ANTONIO HERRERA ESCUDERO. (2011). TIPOS DE MATRICES. 26-11-15, de Universidad Veracruzana Sitio web: http://www.uv.mx/personal/aherrera/files/2014/08/10a.-TIPOS-DE-MATRICES-1.pdf

4.2.2 Operaciones con matrices (suma,

diferencia, multiplicación por escalar y

producto de matrices).

OPERACIONES CON MATRICES<br />SUMA Y RESTA DE MATRICES<br />Sean las matrices y <br />La suma y resta...

b) MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR<br />Si y α es un escalar, entonces<br />αA está dada por:<br /> Es de...

c) MULTIPLICACION DE MATRICES<br />Dos matrices A y B son multiplicables si el número de columnas de A coincide con el n...

Derechos de autor:

Algebra. (20 julio del 2010). Operaciones con matrices. 27-11-15, de Algebra Sitio web: http://es.slideshare.net/algebralineal/operaciones-con-matrices-4667822

4.2.3 Propiedades de las operaciones con matrices.

Propiedades de matrices simétricas/antisimétricas:

Si A es una matriz cuadrada: 1. T A A + = matriz simétrica 2. T A A − = matriz antisimétrica Si A y B son matrices simétricas/antisimétricas: 3. A B + también es simétrica/antisimétrica 4. α A también es simétrica/antisimétrica 5. AB no necesariamente es simétrica/antisimétrica (h)

Matriz ortogonal: 1. T 1 A A− = 2. T T AA A A I = =

Propiedades de la conjugada: 1. ( A A ) = 2. ( AB AB + =+ ) 3. ( AB A B = ⋅ (en este orden) 4. (α α A A ) = ⋅

Propiedades de la conjugada-transpuesta: 1. ( ) * * A A = 2. ( ) * * * AB A B + =+ 3. ( ) * * * AB B A = 4. ( ) * *

Derechos de autor:

Norma Patricia . (2011). PROPIEDADES DE MATRICES Y DETERMINANTES. 30-11-15, de UNAM Sitio web: http://www.dcb.unam.mx/users/normapla/Resumen%20de%20PROPIEDADES%20de%20%20MATRICES%20y%20DETERMINANTES.pdf

4.2.4 Matriz inversa.

En el siguiente vídeo se explica en que momento aplicar este método.

Derechos de autor:

RainaAmidala. (18 junio 2012). Matriz Inversa Método de Gauss. 30-11-15, de Reina Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=TbIE7ncn8Ag

4.3 Determinantes

Derechos de autor.

Un Profesor. (17 febrero del 2015). Concepto de determinante. 30-11-15, de Un Profesor Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=ojVDN9PT6b8

4.3.1 Definición de un determinante.

2.DETERMINANTES 2.1 DEFINICION DE DETERMINANTEEl determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un ...

Derechos de autor:

Carlita Vaca. (17 septiembre del 2012). Determinantes. 30-11-15, de Carlita Vaca Sitio web: http://es.slideshare.net/algebra_lineal/determinantes-14322147

4.3.2 Expansión por cofactores.

En este video tutorial introducimos el concepto de determinantes por cofactores y mostramos algunos ejemplos.

Derechos de autor:

Tareas Plus. (7 marzo del 2013). Determinantes por cofactores. 1-12-15, de Tareas Plus Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=LC6TmZAxBzo

4.3.3 Propiedades de los determinantes.

2. Si una matriz tiene dos filas o doscolumnas iguales, entonces, el determinantees igual a cero

5. El determinante de una matriztriangular es igual al producto de loselementos de la diagonal

OPERACIONESELEMENTALESDE FILAS YCOLUMNAS

Derechos de autor:

Carlita Vaca. (2012). Propiedades de los determinantes. 1-12-15, de Carlita Vaca Sitio web: http://es.slideshare.net/algebra_lineal/propiedades-de-los-determinantes-14353210

4.3.4 Regla de Cramer.

La regla de Cramer se aplica para resolver sistemas de ecuaciones lineales que cumplan las siguientes condiciones:

+El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.

+El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero. Sistema

Derechos de autor:Vitutor. (2010). Regla de cramer. 1-12-15, de Vitutor Sitio web: http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/cramer.html.

4.4 Aplicaciones: Modelo insumo-producto, análisis de ventas y comportamiento del consumidor.

El total de cada columna debe coincidir con el total de cada hilera, siendo este último el ingreso total. En otras palabras, costo total debe ser igual a ingreso total. Ahora bien, dado que el ingreso total es igual al precio multiplicado por la cantidad, se desprende que el costo medio (costo total dividido entre la cantidad) debe ser igual al precio (ingreso total dividido entre la cantidad). (3) La ecuación (3) representa el segundo conjunto de ecuaciones y describe el lado de la oferta de la economía. Como se puede ver, los precios de los bienes dependen entre sí de los precios de los factores de producción, del nivel de ingresos, y del valor de los parámetros que definen la tasa de impuestos indirectos y el tipo de cambio. La forma de modelar el sistema de precios depende, en última instancia, de los objetivos. La ecuación (3), sin embargo, ofrece dos grandes posibilidades. En primer lugar, si los precios son influenciados por la escala de la producción, esto es, Y, se tiene entonces un modelo de precios flexibles, donde los precios de las mercancías dependen no sólo de ellos mismos, sino también del resto de las variables, y en forma más general del nivel de ingreso de las actividades productivas. Alternativamente, si se postulan rendimientos constantes a escala y se suponen fijos los precios de los factores y los parámetros definidos por Q (tipo de cambio e impuestos indirectos), entonces el nivel de precios de los bienes depende únicamente del precio de los otros bienes. Este escenario define el segundo tipo de modelos, es decir, de precios fijos. Las simplificaciones que se desprenden del uso de este tipo de modelos serán discutidas más adelante. Por el momento, sin embrago, debe hacerse notar que las ecuaciones (2) y (3) son insuficientes para cerrar el modelo.

Derechos de autor:Horacio Enrique Sobarzo Fimbres*. (2009). Modelo de insumo-producto en formato de matriz de contabilidad social. 1-12-15, de Economia Mexicana Sitio web: http://www.economiamexicana.cide.edu/num_anteriores/XX-2/01_EM-HoracioSobarzo(237-280).pdf

Resumen:

Esta unidad me pareció muy interesante ya que en base a las matrices puedo calcular análisis de las ventas y el comportamiento del consumidor.

En general, la materia me pareció muy importante, es de gran apoyo en la vida cotidiana.

Gracias!